¿De cuántas maneras distintas pueden combinar los monjes tibetanos las letras de su alfabeto en su búsqueda del verdadero nombre de Dios?

CARLO FRABETTI
19 MAY 2017

Si las nueve musas han de salir de paseo de tres en tres sin que ninguna de ellas repita compañeras ni deje de salir con ninguna, como vimos la semana pasada, cada musa sale cuatro veces, ya que en cada ocasión va con dos de sus ocho compañeras. Se habrán producido, pues, 9 x 4 = 36 paseos individuales, y como en cada paseo participan tres musas, el número de paseos será 36/3 = 12. Si numeramos las musas del 1 al 9, los paseos de la primera podrían ser 123, 145, 167 y 189; los de la segunda, sin repetir ninguna de las parejas anteriores, 246, 258 y 279; los de la tercera, 349, 357 y 368; los de la cuarta y quinta, 478 y 569, y ya no quedan más posibilidades sin que se repita ninguna pareja. Obviamente, la solución no es única. En su primer paseo, la primera musa podría haber salido con cualquiera de las 28 parejas que se pueden formar con las ocho restantes, y a partir de ahí la cosa se sigue ramificando hasta dar…  ¿cuántas soluciones distintas?

Este problema es una versión simplificada del famoso “problema de las colegialas” planteado por el matemático británico Thomas Kirkman en 1851, que dice así:

Quince colegialas salen formadas en filas de tres durante siete días seguidos. ¿Cómo han de formar cada día de manera que al terminar la semana no haya habido dos de ellas que hayan ido en la misma fila más de una vez?

Variaciones con limitaciones

Los problemas de combinatoria en los que alguna condición limita el número de posibles combinaciones (o variaciones, o permutaciones), como los que acabamos de ver, suelen ser especialmente interesantes, y a menudo más complejos de lo que parecen a primera vista.

Uno de los más famosos es de origen literario: en su relato Los nueve mil millones de nombres de Dios, Arthur Clarke cuenta la historia de unos monjes tibetanos que combinan sin cesar las letras de su alfabeto para intentar formar el verdadero nombre de Dios. Teniendo en cuenta que el alfabeto tibetano consta de treinta letras, que el nombre de Dios no puede tener más de nueve letras y que una misma letra no puede aparecer más de tres veces seguidas (pues ello daría lugar a un nombre impronunciable incluso para un monje tibetano), ¿es realmente del orden de los miles de millones el número de posibles nombres divinos? ¿O quienes erróneamente traducen billions como billones están en este caso más cerca de la verdad?

Carlo Frabetti es escritor y matemático, miembro de la Academia de Ciencias de Nueva York. Ha publicado más de 50 obras de divulgación científica para adultos, niños y jóvenes, entre ellos Maldita física, Malditas matemáticas o El gran juego. Fue guionista de La bola de cristal.